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约数
1约数
定义:若整数n除以整数d的余数为0,即d能整除n,则称d是n的约数,n是d的倍数,记作。
1.2算数基本定理的推导
在算法基本定理中,其中都是正整数,都是质数,且满足,则N的正约数集合可以表示为:
N的正约数个数为
N的所有正约数的和
1.3求N的正约数集合-试除法
若d>是一个约数那么n/d<也是一个约数。每个约数都是关于对称的。还有完全平方数。因此只要扫描1~的所有数将d和n/d作为约数加入到集合中就可以。
1.4求1~n每个数的正约数集合-倍数法
以d为正约数的数有从1到n扫描每个数,将每个数的倍数的正约数集合都加入d。
1.5反素数
对于任何正整数x,其约数的个数记作g(x),对于任意的0<i<x都满足g(i)<g(x)的数叫反素数。
性质1:其中1~ n中最大的反素数就是,1~n是约数最多的数中最小的一个。
性质2:不同质因数最多的数是10个因为,且所有质因数的指数总和不超过30,因为
性质3:将x分解成后,每个数的指数是单调递减,因为可以将这个质数指数与一个较小的质数的指数交换,交换完毕后,数变小,但是正约数个数不变。
有了这三个性质对每个质数的指数进行dfs搜索就可以了。
余数之和
#include<iostream>using namespace std;bool st[100];int primes[100],cnt = 1;int c[100];//储存每个质因子的个数long long n,ans,k = 0;void get_primes(int n){ for(int i = 2;i < n;i++){ if(!st[i]) primes[cnt++] = i; for(int j = 1;primes[j]*i < n;j++){ st[i*primes[j]] = true; if(i%primes[j]==0) break; } }}void dfs(long long sum,long long count,int last){ if(sum>n) return; if(count>k||(count==k&&sum<ans)) ans = sum,k = count; for(int i = last;i < 11;i++){ if(c[i-1]>c[i]&&primes[i]*sum<=n){ c[i]++; dfs(sum*primes[i],(count/c[i])*(c[i]+1),i); c[i]--; } }}int main(){ get_primes(100); c[0] = 0xfffffff; cin>>n; dfs(1,1,1); cout<<ans<<endl;}
1.6余数之和
给出正整数n和k,计算j(n, k)=k mod 1 + k mod 2 + k mod 3 + … + k mod n的值。
例如j(5, 3)=3 mod 1 + 3 mod 2 + 3 mod 3 + 3 mod 4 + 3 mod 5=0+1+0+3+3=7。
这个式子中k/i向下取整最多能取,如果我们能确定每个数的范围,那么的时间就可以求出答案。
问题可以变为给出求出满足f(x)不变时,x的取值范围。我们设x是f(x)的左边界,那么右边界是多少呢?
令,
g(x)就是f(x)的右边界。可以理解为,我们先将k分为f(x)+1段,前x段每段长x,最后一段长度不固定,所有长度相加为k。我们要求最大的x。另每一段长度最大就是最后一段长度最小。其他位置均分k,分为f(x)段,并且我们要求的是取整数,所以x/f(x)需要向下取整。
#include<cstdio>#include<iostream>using namespace std;int main(){ long long n,k; cin>>n>>k; long long ans = n*k; for(long long x = 1,gx = 0;x <= n;x = gx+1){ if(k/x==0) break; gx = min(k/(k/x),n); ans -= (k/x)*(gx + x)*(gx - x + 1)/2; } cout<<ans<<endl;}
2最大公约数
自然数d同时是a,b的约数,称d是公约数,d是所有公约数中最大的数d就是最大公约数,记作。
自然数m同时是a,b的倍数,称m是公倍数。m是所以公倍数中最小的数,那么m就是最小公倍数记作。
定理:都有
证明:
更相减损术:
有
证明:d是a,b的任意约数,那么所以所以这三个集合的公约数集合相等。
欧几里得算法:
,
证明:若a<b,
若a>=b,令其中显然r是的约数。对于a,b任意公约数d。所以因此d也是r的约数。
3互质与欧拉函数
定义:若则称a,b互质。gcd(a,b,c)称为a,b,c互质,而称为两两互质。例如2,3,4互质但是不是两两互质。
欧拉函数
1~N中与N互质的数的个数被称为欧拉函数,记为。
欧拉函数的计算方法是对N分解
对N个数,排除以p为质因子的数,得到的就是欧拉函数。
3.1欧拉函数的性质
性质1:,1~n中与n互质的数的和为
性质2:若a,b互质,则
证明性质1:gcd(n,x) = gcd(n,n-x),所以与n互质的数是成对出现的分别为x和n-x平均值是一共有个。
证明性质2:根据求欧拉函数的公式,直接带入等式。等式左右两边相等。
下面这个定义是积性函数的定义。
定义:如果当a,b互质时,有f(ab) = f(a)*f(b),那么称函数f为积性函数。
性质3欧拉函数满足,积性函数也满足。
性质3:若f是积性函数,且在算数基本定理中,则
性质4:设p为质数,若且则
性质5:设p为质数,若但则
性质6:
证明:首先看性质3直接代入求欧拉函数的公式即可,等式两边相等。
性质4,n/p包含质数p,n与n/p的质因数集合相同。求欧拉函数的公式中,只有N不同。从而可以推出关系。
性质5,n/p不包含质数p,n包含质数p。求欧拉函数的公式中,N不同,并且n/p比n少乘了一个
性质6:首先证明是积性函数。令f代表这个公式。
n与m互质,证明了f是积性函数。对于单个因此来说,
因此对于整个n分解为几个然后使用积性函数性质求出f(n)。
3.3利用埃筛计算欧拉函数的公式
埃筛会将每个合数被他不同的质因数筛一次。例如12被2和3筛。而欧拉函数需要被每个不同质因数p,乘一次。修改代码的筛法,从标记合数,变为对欧拉函数执行乘法。
3.4利用线筛计算欧拉函数
线筛每个数只会被他的最小质因数筛一次。一个合数n的最小质因数是p,那么n/p的最小质因数可能是p可能是大于p的一种情况。线筛计算欧拉函数就是利用这两种情况性质4和5每次递推。所以线筛求欧拉函数,是线性时间的。
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